Simpligi produtajn integraloj
Enkonduko
Produtaj intergraloj ĉagrenas min: vi devas resti singardega kaŭze de variantaj signoj, kaj rekursio plie malfaciligas la tuton.
Kiam mi parolas pri produtaj integraloj, mi volas diri uzi la sekvantan formulon:
$$\int{udv}=uv-\int{vdu}$$Tiu formulo proviĝas facile per la formulo de produto de derivaĵoj.
Prostaferezo
Por trovi la ĝustan vojon, navigistoj devis kalkuli angulojn per sekstanto.
La problemo estas, ke la anguloj povas rapide malgrandiĝi (oni esprimas ilin per minutoj kaj sekundoj de angulo). Diru ni ke, ial, vi havas nek kalkulilon nek logaritman tabelon, sed ŝance, vi posedas trigonometrian libron.
Tio estas la momento, dum kiu intervenas la prostaferezo: oni aproksimas produton substituante la valorojn kun trigonometriaj funkcioj.
\(A\) kaj \(B\) estas du etaj anguloj, kaj \(\cos(a)\) kaj \(\cos(b)\) iliaj aproksimoj.
Vi povas uzi ilin en tiu formulo:
$$\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}(\cos(a+b) + \cos(a-b))$$Estas alia por sinuso:
$$\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}(\cos(a-b)-\cos(a+b))$$Notu ke tiuj formuloj ne havas nomon. Kelkfoje ili povas esti referencitaj kiel formuloj de Simpsono. Vi ankaŭ povas dedukti \(\sin(a)\cos(b)\) kaj \(\cos(a)\sin(b)\).
Trigonometriaj formuloj
Eble ili estas tro grandnombraj, sed ili restas tre utilaj.
$$\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$$ $$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$ $$\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$Konservu enkape, ke kiam ajn vi trovas potencitan sinuson aŭ kosinuson, vi povas lineari ĝin por simpligi viajn kalkulojn.
Tabela integralado
Tiu tekniko funkcias kun funkcioj de potencoj \(x^n\), multiplikataj per eksponencialo, sinuso aŭ kosinuso.
Imagu ni, ke vi devas kalkuli la sekvantan malderivaĵo,:
$$r=\int x^3\exp(\frac{x}{5})dx$$Vi determinas la derivotan funkcion \(D\), kaj la integralotan \(I\).
Vi derivas \(D\) ĝis havi 0. Do \(D\) estos \(x^3\), kaj \(I\) estos \(\exp(x/5)\).
Tiam vi havas:
| $$D$$ | $$I$$ |
|---|---|
| $$x^3$$ | $$\exp(\frac{x}{5})$$ |
| $$3x^2$$ | $$5\exp(\frac{x}{5})$$ |
| $$6x$$ | $$25\exp(\frac{x}{5})$$ |
| $$6$$ | $$125\exp(\frac{x}{5})$$ |
| $$0$$ | $$625\exp(\frac{x}{5})$$ |
Poste vi multiplikas kaj adicias diagonale, tiel:
Ne forgesu alterni signojn!
Vi fine havas tion:
$$r=5x^3\exp(\frac{x}{5})-75x^2\exp(\frac{x}{5})+750x\exp(\frac{x}{5})-3750\exp(\frac{x}{5})$$Vi poste povas faktoradi per la eksponencialo:
$$r=\exp(\frac{x}{5})(5x^3-75x^2+750x-3750)$$Konkludo
Tiuj metodoj havas limojn. La unua kaŭze de la aproksimoj, la dua, ĉar ĝi funkcias kun bazaj funkcioj, do se vi devas solvi \(\int_{a}^{b}{2^{x}}\cos(x)\), vi bezonas alian solvaĵon, aŭ uzi la metodo montrita en la enkonduko.